Question

已知函数.

（1）求函数的最大值；

（2）若函数与有相同极值点，

①求实数的值；

②若对于（为自然对数的底数），不等式恒成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1），      

由得；由得.

在上为增函数，在上为减函数.       

函数的最大值为.     

（2）.

①由（1）知，是函数的极值点，

又函数与有相同极值点，是函数的极值点，

，解得.       

经验证，当时，函数在时取到极小值，符合题意. 

②，

易知，即.

.     

由①知.

当时，；当时，.

故在上为减函数，在上为增函数.

，

而.

.  

当，即时，对于，不等式恒成立.

，

.       

当，即时，对于，不等式恒成立.

，

.

综上，所求实数的取值范围为.       

考点：导数的应用

点评：导数常应用于求曲线的切线方程、求函数的最值与单调区间、证明不等式和解不等式中参数的取值范围等。