Question

20．已知向量$\overrightarrow a、\overrightarrow b、\overrightarrow c$是空间的一个单位正交基底，向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b、\overrightarrow a-\overrightarrow b、\overrightarrow c$是空间的另一组基底，若向量$\overrightarrow p$在基底$\overrightarrow a、\overrightarrow b、\overrightarrow c$下的坐标是（1，3，4），求向量$\overrightarrow p$在基底$\overrightarrow a+\overrightarrow b、\overrightarrow a-\overrightarrow b、\overrightarrow c$下的坐标．

Answer 1

分析 不妨设：$\overrightarrow{a}$=（1，0，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1，0），$\overrightarrow{c}$=（0，0，1）．可得$\overrightarrow{p}$=$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$+4$\overrightarrow{c}$．设$\overrightarrow{p}$=x$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$+y$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$+z$\overrightarrow{c}$=$（x+y）\overrightarrow{a}$+（x-y）$\overrightarrow{b}$+z$\overrightarrow{c}$．利用空间向量基本定理即可得出．

解答 解：不妨设：$\overrightarrow{a}$=（1，0，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1，0），$\overrightarrow{c}$=（0，0，1）．
$\overrightarrow{p}$=$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$+4$\overrightarrow{c}$．
设$\overrightarrow{p}$=x$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$+y$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$+z$\overrightarrow{c}$=$（x+y）\overrightarrow{a}$+（x-y）$\overrightarrow{b}$+z$\overrightarrow{c}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{x-y=3}\\{z=4}\end{array}\right.$，解得x=2，y=-1，z=4．
∴向量$\overrightarrow p$在基底$\overrightarrow a+\overrightarrow b、\overrightarrow a-\overrightarrow b、\overrightarrow c$下的坐标为（2，-1，4）．

点评 本题考查了空间向量基本定理、向量坐标运算性质、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．