Question

6．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁、F₂，渐近线方程是：y=±$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$x，点A（0，b），且△AF₁F₂的面积为6．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|=|AQ|，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得双曲线的渐近线方程，可得a，b的方程，由三角形的面积公式可得b，c的关系，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，即可得到所求双曲线的方程；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），线段PQ的中点为D（x₀，y₀），联立直线方程和双曲线的方程，消去y，可得x的方程，运用判别式大于0，韦达定理，中点坐标公式和直线的斜率公式，结合两直线垂直的条件：斜率之积为-1，即可得到所求m的范围．

解答 解：（Ⅰ）双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由题意可得$\frac{b}{a}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，①
${S_{△A{F_1}{F_2}}}=\frac{1}{2}•2c•b=6$，②
又a²+b²=c²，③
由①②③联立求得：a²=5，b²=4．
所以双曲线C的标准方程是：$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$．          
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
线段PQ的中点为D（x₀，y₀），
y=kx+m与$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$联立消y，整理得（4-5k²）x²-10kmx-5m²-20=0，${x_1}+{x_2}=\frac{10km}{{4-5{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=-\frac{{5{m^2}+20}}{{4-5{k^2}}}$，
由4-5k²≠0及△＞0，得$\left\{\begin{array}{l}4-5{k^2}≠0\\{m^2}-5{k^2}+4＞0\end{array}\right.$，④
${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{5km}{{4-5{k^2}}}，{y_0}=k{x_0}+m=\frac{4m}{{4-5{k^2}}}$，
由|AP|=|AQ|知，AD⊥PQ，
于是${k_{AD}}=\frac{{{y_0}-2}}{x_0}=\frac{{\frac{4m}{{4-5{k^2}}}-2}}{{\frac{5km}{{4-5{k^2}}}}}=-\frac{1}{k}$，化简得10k²=8-9m，⑤
将⑤代入④解得$m＜-\frac{9}{2}$或m＞0，
又由⑤10k²=8-9m＞0，得$m＜\frac{8}{9}$，
综上，实数m的取值范围是$\{m|m＜-\frac{9}{2}$，或$0＜m＜\frac{8}{9}$}．

点评 本题考查双曲线的标准方程的求法，注意运用渐近线方程和三角形的面积公式，考查直线方程和双曲线的方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式，直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．