Question

4．观察下列等式：1³=1²，1³+2³=3²，1³+2³+3³=6²，1³+2³+3³+4³=10²…；
（1）根据上述规律，写出第n个等式；
（2）用数学归纳法证明（1）中所写的等式．

Answer 1

分析 （2）观察可得${1^3}+{2^3}+{3^3}+…+{n^3}={\frac{{{n^2}（n+1）}}{4}^2}$，
（1）用数学归纳法证明：①当n=1时，去证明等式成立；②假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．

解答 解：（1）根据上述规律，写出第n个等式；${1^3}+{2^3}+{3^3}+…+{n^3}={\frac{{{n^2}（n+1）}}{4}^2}$或1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²
（2）证明如下，①当n=1时，左边=1，右边=$\frac{1}{4}$（1+1）²=1，
∴等式成立，
②假设当n=k时，等时成立，即1³+2³+3³+…+k³=$\frac{1}{4}$k²（k+1）²．
那么，当n=k+1时，有1³+2³+3³+…+k³+（k+1）³=$\frac{1}{4}$k²（k+1）²+（k+1）³，
=（k+1）²•（$\frac{{k}^{2}}{4}$+k+1）
=（k+1）²•$\frac{{k}^{2}+4k+4}{4}$
=$\frac{（k+1）^{2}（k+2）^{2}}{4}$
═$\frac{1}{4}$（k+1）²（k+1+1）²．
这就是说，当n=k+1时，等式也成立，
根据①②，可知对n∈N^*等式成立．

点评 本题考查数学归纳法证明有关正整数命题的方法步骤，特别是②是关键，是核心，也是数学归纳法证明命题的难点所在，属中档题．