Question

已知点A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…A_n（a_n，0），…依次在x轴上，满足a₁=1，a₂=5且

AnAn+1

=

1

2

An-1An

（n=2，3，…）．点B₁（b₁，c₁），B₂（b₂，c₂），…B_n（b_n，c_n），…依次在射线y=x（x≥0）上，且B₁（3，3），|

OBn

|=|

OBn-1

|+2

2

|（n=2，3，…）
（1）用n表示B_n的坐标；
（2）用n表示A_n的坐标；
（3）设S_n为数列{a_n+b_n}的前n项和，求S_n．

Answer 1

考点：数列与向量的综合,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列,平面向量及应用

分析：（1）根据|OB_n|-|OB_n-1|=2

2

（n=2，3，…）且|OB₁|=3

2

，可得{|OB_n|}是以3

2

为首项，2

2

为公差的等差数列，即可用n表示B_n的坐标；
（2）确定{a_n-a_n-1}组成以4位首项，

1

2

为公比的等比数列，即可用n表示A_n的坐标；
（3）确定数列{a_n+b_n}的通项，分组求和，即可求S_n．

解答： 解：（1）∵|OB_n|-|OB_n-1|=2

2

（n=2，3，…）且|OB₁|=3

2

∴{|OB_n|}是以3

2

为首项，2

2

为公差的等差数列
∴|OB_n|=3

2

+（n-1）×2

2

=（2n+1）

2

，
∴B_n的坐标为（2n+1，2n+1）．
（2）

AnAn+1

=

1

2

An-1An

且

A1A2

=（4，0），A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…A_n（a_n，0），…依次在x轴上
∴{a_n-a_n-1}组成以4位首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴a_n-a_n-1=4•(

1

2

)n-1，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=1+4+…+4•(

1

2

)n-1=9-2^4-n，
∴A_n的坐标（9-2^4-n，0）；
（3）a_n+b_n=9-2^4-n+2n+1=10+2n-2^4-n，
∴S_n=10n+

n(2+2n)

2

-

8(1-2n)

1-2

=11n+n²-2ⁿ⁺³-8．

点评：本小题主要考查数列的函数特性、等比数列的通项公式、等差关系的确定等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．