Question

如图，点P（0，

A

2

）是函数y=Asin（

2π

9

x+φ）（其中A＞0，φ∈[0，2π））的图象与y轴的交点，点Q是它与x轴的一个交点，点R是它的一个最低点．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）若PQ⊥PR，求A的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：第（Ⅰ）问要求φ值，要先求出φ的某种三角函数值，代入P点坐标即可，结合图象和φ的取值范围确定φ的值；第（Ⅱ）问要根据PQ⊥PR，求出P、Q、R点的坐标，然后利用向量的内积为0构建关于A的方程求解．

解答： （本小题14分）
解：（I）∵函数经过点P(0，

A

2

)∴sinφ=

1

2

…（3分）
又∵φ∈[0，2π），且点P在递减区间上∴ϕ=

5π

6

…（7分）
（II）由（I）可知y=Asin(

2π

9

+

5π

6

)令y=0，得sin(

2π

9

x+

5π

6

)=0
∴

2π

9

x+

5π

6

=0∴x=-

15

4

∴Q(-

15

4

，0)…（9分）
令y=-A，得sin(

2π

9

x+

5π

6

)=-1∴

2π

9

x+

5π

6

=

3π

2

∴x=3∴R（3，-A）…（11分）
又∵P(0，

A

2

)，∴

PQ

=(-

15

4

，-

A

2

)，

PR

=(3，-

3A

2

)
∵PQ⊥PR，∴

PQ

•

PR

=-

45

4

+

3

4

A2=0解得：A=

15

…（14分）

点评：本题综合性较强，重点考查了三角函数的图象与性质，在解题中利用了数形结及方程的思想．