Question

【题目】已知函数f（x）=aex（a≠0），g（x）=x2（Ⅰ）若曲线c1：y=f（x）与曲线c2：y=g（x）存在公切线，求a最大值．
（Ⅱ）当a=1时，F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1，且F（2）=0，若F（x）在（0，2）内有零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设公切线l与c1切于点（x1 ， a ）与c2切于点（x2 ， ）， ∵f′（x）=aex ， g′（x）=2x，
∴ ，由①知x2≠0，
①代入②得： =2x2 ， 即x2=2x1﹣2，
由①知a= ，
设g（x）= ，g′（x）= ，
令g′（x）=0，得x=2；当x＜2时g′（x）＞0，g（x）递增．
当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）递减．
∴x=2时，g（x）max=g（2）= ，∴amax= ．
（Ⅱ）F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1=ex﹣bx2﹣cx﹣1，
∵F（2）=0=F（0），又F（x）在（0，2）内有零点，
∴F（x）在（0，2）至少有两个极值点，
即F′（x）=ex﹣2bx﹣c在（0，2）内至少有两个零点．
∵F″（x）=ex﹣2b，F（2）=e2﹣4b﹣2c﹣1=0，c= ，
①当b≤ 时，在（0，2）上，ex＞e0=1≥2b，F″（x）＞0，
∴F″（x）在（0，2）上单调增，F′（x）没有两个零点．
②当b≥ 时，在（0，2）上，ex＜e2≤2b，∴F″（x）＜0，
∴F″（x）在（0，2）上单调减，F′（x）没有两个零点；
③当 ＜b＜ 时，令F″（x）=0，得x=ln2b，
因当x＞ln2b时，F″（x）＞0，x＜ln2b时，F″（x）＜0，
∴F″（x）在（0，ln2b）递减，（ln2b，2）递增，
所以x=ln2b时，∴F′（x）最小=F′（ln2b）=4b﹣2bln2b﹣ + ，
设G（b）=F′（ln2b）=4b﹣2bln2b﹣ + ，
令G′（b）=2﹣2ln2b=0，
得2b=e，即b= ，当b＜ 时G′（b）＞0；当b＞ 时，G′（b）＜0，
当b= 时，G（b）最大=G（ ）=e+ ﹣ ＜0，
∴G（b）=f′（ln2b）＜0恒成立，
因F′（x）=ex﹣2bx﹣c在（0，2）内有两个零点，
∴ ，
解得： ＜b＜ ，
综上所述，b的取值范围（ ， ）
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到x2=2x1﹣2，由a= ，设g（x）= ，根据函数的单调性求出a的最大值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，问题转化为F′（x）=ex﹣2bx﹣c在（0，2）内至少有两个零点，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间，从而确定b的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．