Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+x2 ．
（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3aexx∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；
（3）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0 ， F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax，

由题意知，g′（x）≥0，对任意的x∈（0，+∞）恒成立，即

又∵x＞0， ，当且仅当 时等号成立

∴ ，可得

（2）解：由（1）知， ，令t=ex，则t∈[1，2]，则

h（t）=t3﹣3at，

由h′（t）=0，得 或 （舍去），

∵ ，∴

若 ，则h′（t）＜0，h（t）单调递减；若 ，则h′（t）＞0，h（t）单调递增

∴当 时，h（t）取得极小值，极小值为

（3）解：设F（x）在（x0，F（x0））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx﹣x2﹣kx

结合题意，有

①﹣②得

所以 ，由④得

所以 ⑤

设 ，⑤式变为

设 ，

所以函数 在（0，1）上单调递增，

因此，y＜y|u=1=0，即 ，也就是 此式与⑤矛盾

所以F（x）在（x0，F（x0））的切线不能平行于x轴

【解析】（1）先根据题意写出：g（x）再求导数，由题意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即 由此即可求得实数a的取值范围；（2）由（1）知 ，利用换元法令t=ex ， 则t∈[1，2]，则h（t）=t3﹣3at，接下来利用导数研究此函数的单调性，从而得出h（x）的极小值；（3）对于能否问题，可先假设能，即设F（x）在（x0 ， F（x0））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx﹣x2﹣kx结合题意，列出方程组，证得函数 在（0，1）上单调递增，最后出现矛盾，说明假设不成立，即切线不能否平行于x轴．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．