题目内容
【题目】某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示:全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168,16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间,将测量结果按如下方式分成6组:第一组[160,164],第二组[164,168],…,第6组[180,184],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (Ⅰ)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况;
(Ⅱ)求这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数;
(Ⅲ)在这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人中任意抽取2人,该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为ξ,求ξ的数学期望.
参考数据:若ξ﹣N(μ,σ2),则p(μ﹣σ<ξ≤μ+σ)=0.6826,p(μ﹣2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544,p(μ﹣3σ<ξ≤μ+3σ)=0.9974.
【答案】解:(Ⅰ)由直方图,经过计算该校高三年级男生平均身高为 , 高于全市的平均值168(或者:经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72,比较接近全市的平均值168)
(Ⅱ)由频率分布直方图知,后三组频率为(0.02+0.02+0.01)×4=0.2,人数为0.2×5=10,即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10人.
(Ⅲ)∵P(168﹣3×4<ξ≤168+3×4)=0.9974,∴ ,0.0013×100 000=130.
所以,全市前130名的身高在180 cm以上,这50人中180 cm以上的有2人.
随机变量ξ可取0,1,2,于是 , , ,
∴
【解析】(I)高三男生的平均身高用组中值×频率,即可得到结论;(II)首先理解频数分布直方图横纵轴表示的意义,横轴表示身高,纵轴表示频数,即:每组中包含个体的个数.我们可以依据频数分布直方图,了解数据的分布情况,知道每段所占的比例,从而求出求这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数.(III)先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在172cm以上,这50人中172cm以上的有2人,确定ξ的可能取值,求出其概率,即可得到ξ的分布列与期望.
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识,掌握在射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列.