Question

11．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，若在C上存在一点P，使得|PO|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|（O为坐标原点），且直线OP的斜率为$\sqrt{3}$，则，双曲线C的离心率为$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 依题意可知|PO|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|判断出∠F₁PF₂=90°，直线OP的斜率为$\sqrt{3}$，可求出出|PF₂|=$\sqrt{3}$c，则|F₁P|=c，进而利用双曲线定义可用c表示出a，最后可求得双曲线的离心率．

解答 解：∵|PO|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|，
∴|OF₁|=|OF₂|=|OP|
∴∠F₁PF₂=90°，
∵直线OP的斜率为$\sqrt{3}$，
∴∠POF₁=60°，
∴|PF₁|=c，|PF₂|=$\sqrt{3}$c，
∴$\sqrt{3}$c-c=2a，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1
∴e=$\sqrt{3}$+1．
故答案为：$\sqrt{3}$+1

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运用，属于中档题．