Question

19．如图所示，三棱柱A₁B₁C₁-ABC的侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=AA₁，D是棱CC₁的中点．
（Ⅰ）证明：平面AB₁C⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）在棱A₁B₁上是否存在一点E，使C₁E∥平面A₁BD？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）要证平面AB₁C⊥平面A₁BD，只需在平面AB₁C内找一条直线（A₁B）垂直平面A₁BD即可；
（2）设AB₁∩A₁B=F，连接EF，FD，C₁E，由EF=$\frac{1}{2}$AA₁，EF∥AA₁，且C₁D=$\frac{1}{2}$AA₁，C₁D∥AA₁，
可得EF∥C₁D，且EF=C₁D，四边形EFDC₁是平行四边形即可得到，当E为A₁B₁的中点时，C₁E∥平面A₁BD．

解答 解：（Ⅰ）∵AA₁⊥底面ABC，AC?平面ABC，∴AA₁⊥AC，
又∵AB⊥AC，AA₁∩AB=A，∴AC⊥平面ABB₁A₁，
又∵A₁B?平面ABB₁A₁，∴AC⊥A₁B，
∵AB=AA₁，∴A₁B⊥AB₁，
又∵AB₁∩AC=A，∴A₁B⊥平面AB₁C，
又∵A₁B?平面A₁BD，∴平面AB₁C⊥平面A₁BD．…（6分）
（Ⅱ）当E为A₁B₁的中点时，C₁E∥平面A₁BD．下面给予证明．
设AB₁∩A₁B=F，连接EF，FD，C₁E，
∵EF=$\frac{1}{2}$AA₁，EF∥AA₁，且C₁D=$\frac{1}{2}$AA₁，C₁D∥AA₁，
∴EF∥C₁D，且EF=C₁D，
∴四边形EFDC₁是平行四边形，
∴C₁E∥FD，又∵C₁E?平面A₁BD，FD?平面A₁BD，
∴C₁E∥平面A₁BD．…（12分）

点评 本题考查平面和平面垂直的判定和性质、线面平行的推导．解决此类问题的关键是熟练掌握有关定理以及空间几何体中点、线、面之间的位置关系，属于中档题．