题目内容
1．已知定义在R上的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-6ax-1，x≤1}\\{{a}^{x}-7，x＞1}\end{array}\right.$，对任意x1≠x2，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，则实数a的取值范围是（ ）| A． | （$\frac{1}{3}$，1） | B． | [$\frac{1}{3}$，1） | C． | （0，$\frac{1}{3}$） | D． | （0，$\frac{1}{3}$] |
分析 根据对任意x1≠x2，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，可知f（x）在R上是单调减函数，可知a＜1，由二次函数的性质可知：（-∞，3a）是减区间，可得3a≥1，且满足（ax-7）max≤（x2-6ax-1）min可得a的取值范围．
解答 解：定义在R上的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-6ax-1，x≤1}\\{{a}^{x}-7，x＞1}\end{array}\right.$，
对任意x1≠x2，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，可知f（x）在R上是单调减函数，
可得：y=ax-7是减函数，则a＜1．
由二次函数的性质可知：y=x2-6ax-1的对称轴为x=3a，其（-∞，3a）是单调减区间，
∴3a≥1，可得：a$≥\frac{1}{3}$
满足（ax-7）max≤（x2-6ax-1）min可得：a-7≤-6a
解得：a＜1．
综上可得：a的取值范围是[$\frac{1}{3}$，1）．
故选：B．
点评 本题考查了分段函数的单调性的运用．属于基础题．
练习册系列答案
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2．实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+1≥0}\\{x-y+1≥0}\\{x+y-2≤0}\end{array}\right.$，则y-4x的取值范围是（ ）
| A． | （-∞，4] | B． | （-∞，7] | C． | [-$\frac{1}{2}$，4] | D． | [-$\frac{1}{2}$，7] |
9．已知集合A={a，1}，B={a2，0}，那么“a=-1”是“A∩B≠∅”的（ ）
| A． | 充分而不必要条件 | B． | 必要而不充分条件 | ||
| C． | 充分必要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
16．在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是边BC上的动点，且|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{AC}$|=4，$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（λ＞0，μ＞0），则当λμ取得最大值时，|$\overrightarrow{AD}$|的值为（ ）
| A． | $\frac{7}{2}$ | B． | 3 | C． | $\frac{5}{2}$ | D． | $\frac{12}{5}$ |
10．某调查者从调查中获知某公司近年来科研费支出（xi） 用与公司所获得利润（yi）的统计资料如表：
科研费用支出（xi）与利润（yi）统计表 单位：万元
（1）由散点图可知，科研费用支出与利润线性相关，试根据以上数据求出y关于x的回归直线方程；
（2）当x=xi时，由回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$得到的函数值记为$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$，我们将ε=|$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$-yi|称为误差；
在表中6组数据中任取两组数据，求两组数据中至少有一组数据误差小于3的概率；
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{（\overline x）}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-}\overline y）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（x_i^{\;}-\overline x）}^2}}}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．
科研费用支出（xi）与利润（yi）统计表 单位：万元
| 年份 | 科研费用支出（xi） | 利润（yi） |
| 2011 2012 2013 2014 2015 2016 | 5 11 4 5 3 2 | 31 40 30 34 25 20 |
| 合计 | 30 | 180 |
（2）当x=xi时，由回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$得到的函数值记为$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$，我们将ε=|$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$-yi|称为误差；
在表中6组数据中任取两组数据，求两组数据中至少有一组数据误差小于3的概率；
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{（\overline x）}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-}\overline y）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（x_i^{\;}-\overline x）}^2}}}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．