Question

9．已知数列{a_n}前n项和为S_n，且满足a₁=1，4S_n=a_na_n+1+1．
（1）计算a₂、a₃、a₄的值，并猜想{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）满足a₁=1，4S_n=a_na_n+1+1．令n=1，可得：4S₁=4a₁=a₁a₂+1，解得a₂=3，令n=2，3，同理可得：a₃，a₄．猜想a_n=2n-1．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）满足a₁=1，4S_n=a_na_n+1+1．令n=1，可得：4S₁=4a₁=a₁a₂+1，解得a₂=3，
令n=2，3，同理可得：a₃=5，a₄=7．
猜想a_n=2n-1．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．