Question

1．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$）的图象关于直线x=$\frac{2π}{3}$对称，它的周期是π，则以下命题错误的是（　　）

• A． f（x）的图象过点$（0，\frac{1}{2}）$
• B． f（x）在$[{\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}}]$上是减函数
• C． f（x）的一个对称中心是点$（{\frac{5π}{12}，0}）$
• D． f（x）的最大值为A

Answer 1

分析 由周期求出ω，由函数的图象的对称性求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$）的周期是π，
∴$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
再根据函数的图象关于直线x=$\frac{2π}{3}$对称，可得2•$\frac{2π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴函数f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$）．
由于A不确定，故不能确定f（x）的图象过点$（0，\frac{1}{2}）$，故A错误；
在$[{\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}}]$上，2x+$\frac{π}{6}$∈[π，$\frac{3π}{2}$]，故f（x）在$[{\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}}]$上是减函数，故B正确；
令x=$\frac{5π}{12}$，求得f（x）=0，可得f（x）的一个对称中心是点$（{\frac{5π}{12}，0}）$，故C正确；
显然，f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$）的最大值为A，故D正确，
故选：A．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由函数的图象的对称性求出φ的值，正弦函数的图象和性质，属于基础题．