Question

18．已知F₁，F₂为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a，b＞0）$的左右焦点，过F₁的直线l与圆x²+y²=b²相切于点M，且|MF₂|=2|MF₁|，则直线l的斜率是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
• C． $±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $±\frac{{\sqrt{7}}}{2}$

Answer 1

分析 设F₁，F₂为（-c，0），（c，0），设直线l的斜率为k，可得直线l的方程为y=k（x+c），由直线和圆相切可得d=r，运用点到直线的距离公式，以及三角形的勾股定理和中线长公式，可得b，c的关系和k的方程，解方程可得斜率k．

解答 解：设F₁，F₂为（-c，0），（c，0），
设直线l的斜率为k，可得直线l的方程为y=k（x+c），
由过F₁的直线l与圆x²+y²=b²相切，
可得$\frac{|kc|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=b，
平方可得b²（1+k²）=k²c²，①
在直角三角形OMF₁中，可得|MF₁|=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=a，
即有|MF₂|=2|MF₁|=2a，
由OM为三角形MF₁F₂的中线，可得
（2|OM|）²+（|F₁F₂|）²=2（|MF₁|²+|MF₂|²），
即为4b²+4c²=2（a²+4a²），
即有10a²=10（c²-b²）=4b²+4c²，
即有3c²=7b²，
代入①可得，1+k²=$\frac{7}{3}$k²，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查直线的斜率的求法，注意运用直线和圆相切的条件：d=r，以及平面几何中三角形的勾股定理和中线长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．