Question

7．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{6}$，这个长方体的外接球的表面积是6π．

Answer 1

分析 根据题意建立方程组，解出长方体的长、宽、高分别为$\sqrt{3}，\sqrt{2}$，1，从而算出长方体的对角线长l=$\sqrt{6}$，可得外接球的直径，利用球的表面积公式即可算出长方体外接球的表面积．

解答 解：设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，
∵长方体共顶点的三个面的面积分别是$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{6}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{xy=\sqrt{6}}\\{ya=\sqrt{2}}\\{zx=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解之得x=$\sqrt{3}$，y=$\sqrt{2}$，z=1，
可得长方体的对角线长l=$\sqrt{6}$．
设长方体外接球的半径为R，则2R=l=$\sqrt{6}$，可得R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴长方体外接球的表面积是S=4πR²=6π．
故答案为：6π．

点评 本题给出长方体共顶点的三个面的面积，求外接球的表面积．着重考查了长方体的对角线长公式、矩形面积公式与球的表面积计算等知识，属于基础题．