Question

2．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x-1）且当x∈[-1，1]时，f（x）=x²，则函数y=f（x）-log₅x的零点个数为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 先根据函数y=f（x）（x∈R）满足f（x-1）=f（x+1），f（x+2）=f（x），得出f（x）是周期为2的周期性函数，再把函数的零点转化为两函数图象的交点，利用图象直接得结论．

解答 解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x-1）=f（x+1），
∴f（x+2）=f（x），f（x）是周期为2的周期性函数，
又x∈[-1，1]时，f（x）=x²．
根据函数的周期性画出图形，如图，

由图可得y=f（x）与y=log₅x的图象有4个交点．
故选：C．

点评 本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数f（x）性质，作出其图象，将函数y=f（x）-log₅x的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得本题的求解变得较容易．