Question

7．与圆C₁：（x+3）²+y²=1，圆C₂：（x-3）²+y²=9同时外切的动圆圆心的轨迹方程是（　　）

• A． $\frac{y^2}{8}$-x²=1
• B． x²-$\frac{y^2}{8}$=1
• C． x²-$\frac{y^2}{8}$=1（x≥1）
• D． x²-$\frac{y^2}{8}$=1（x≤-1）

Answer 1

分析 由已知得|MC₂|-|MC₁|=|BC₂|-|AC₁|=3-1=2．根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支，由此能求出其轨迹方程．

解答 解：如图所示，
设动圆M与圆C₁及圆C₂分别外切于点A和点B，
根据两圆外切的充要条件，得：|MC₁|-|AC₁|=|MA|，
|MC₂|-|BC₂|=|MB|．
因为|MA|=|MB|，
所以|MC₂|-|MC₁|=|BC₂|-|AC₁|=3-1=2．
这表明动点M到两定点C₂，C₁的距离之差是常数2．
根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C₂的距离大，到C₁的距离小），
这里a=1，c=3，则b²=8，设点M的坐标为（x，y），
其轨迹方程为：x²-$\frac{y^2}{8}$=1，（x≤-1）．
故选：D．

点评 本题考查动圆圆心的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆、双曲线简单性质的合理运用．