Question

20．若直线ax+2by-2=0（a＞0，b＞0），始终平分圆x²+y²-4x-2y-8=0的长，则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最值为3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可知圆x²+y²-4x-2y-8=0的圆心（2，1）在直线ax+2by-2=0上，可得a+b=1，而$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）（a+b），展开利用基本不等式可求最小值

解答 解：由圆的性质可知，直线ax+2by-2=0即是圆的直径所在的直线方程．
∵圆x²+y²-4x-2y-8=0的标准方程为（x-2）²+（y-1）²=13，
∴圆心（2，1）在直线ax+2by-2=0上，
∴2a+2b-2=0即a+b=1，
∵$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）（a+b）=3+$\frac{b}{a}$+$\frac{2a}{b}$≥3+2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值3+2$\sqrt{2}$．
故答案为3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了圆的性质的应用，利用基本不等式求解最值的问题，解题的关键技巧在于“1”的基本代换．