Question

15．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax²-bx+1．
（1）设集合P={-1，1，2，3}，Q={-3，-2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2≥0}\\{x+2y+2≥0}\\{x-y-1≤0}\end{array}\right.$内的随机点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是减函数的概率．

Answer 1

分析 利用二次函数的单调性即可得出所包括的基本事件的个数（2）本题是一个等可能事件的概率问题，根据第一问做出的函数是增函数，得到试验发生包含的事件对应的区域和满足条件的事件对应的区域，做出面积，得到结果

解答 解：（1）（a，b）共有（-1，-3），（-1，-2），（-1，3），（-1，4），（1，-3），（1，-2），（1，3），（1，4），（2，-3），（2，-2），（2，3），（2，4），（3，-3），（3，-2），（3，3），（3，4）16种情况．
二次函数f（x）=ax²-bx+1的对称轴x=$\frac{b}{2a}$，
∵函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，∴$\frac{b}{2a}$≤1，即b≤2a，且a＞0，
有（1，-3），（1，-2），（2，-3），（2，-2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，-3），（3，-2），（3，3），（3，4），共11种情况．
∴函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率P=$\frac{11}{16}$．
（2）由（1）知，点（a，b）是区域$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2≥0}\\{x+2y+2≥0}\\{x-y-1≤0}\end{array}\right.$对应的区域如图黑色部分区域，由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$得到A（4，3），所以面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\frac{|4+2×3+2|}{\sqrt{5}}$=6，
满足函数f（x）=ax²-bx+1在区是间[1，+∞）上为减函数条件是当且仅当2a≥b，且a＜0，对应区域如图黄色区域，由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+2y+2=0}\end{array}\right.$得到交点坐标（$-\frac{2}{5}，-\frac{4}{5}$，）所以面积为$\frac{1}{2}×1×\frac{2}{5}=\frac{1}{5}$，所以函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是减函数的概率为两部分面积比为$\frac{\frac{1}{5}}{6}=\frac{1}{30}$．

点评 本题考查了古典概型和几何概型；古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．