Question

3．某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本y（单位：元）与印刷册数x（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表．

印刷册数x（千册）	2	3	4	5	8
单册成本y（元）	3.2	2.4	2	1.9	1.7

根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到了两个回归方程，方程甲：$\widehat{y}$^（1）=$\frac{4}{x}$+1.1，方程乙：$\widehat{y}$^（2）=$\frac{6.4}{{x}^{2}}$+1.6．
（Ⅰ）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．
（i）完成下表（计算结果精确到0.1）；

印刷册数x（千册）		2	3	4	5	8
单册成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估计值$\widehat{{y}_{i}}$（1）		2.4	2.1		1.6
	残值$\widehat{{e}_{i}}$（1）		0	-0.1		0.1
模型乙	估计值$\widehat{{y}_{i}}$（2）		2.3	2	1.9
	残值$\widehat{{e}_{i}}$（2）		0.1	0	0

（ii）分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q₁和Q₂，并通过比较Q₁，Q₂的大小，判断哪个模型拟合效果更好．
（Ⅱ）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷．根据市场调查，新需求量为10千册，若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，试估计印刷厂二次印刷获得的利润．（按（Ⅰ）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）

Answer 1

分析 （1）（i）计算对应的数值，填表即可；
（ii）计算模型甲、模型乙的残差平方和，比较即可得出结论；
（2）计算二次印刷时的成本，求出对应利润值即可．

解答 解：（1）（i）经计算，可得下表：（计算结果精确到0.1）；

印刷册数x（千册）		2	3	4	5	8
单册成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估计值$\widehat{{y}_{i}}$（1）	3.1	2.4	2.1	1.9	1.6
	残值$\widehat{{e}_{i}}$（1）	0.1	0	-0.1	0	0.1
模型乙	估计值$\widehat{{y}_{i}}$（2）	3.2	2.3	2	1.9	1.7
	残值$\widehat{{e}_{i}}$（2）	0	0.1	0	0	0

（ii）计算模型甲的残差平方和为Q₁=0.1²+（-0.1）²+0.1²=0.03，
模型乙的残差平方和为Q₂=0.1²=0.01，
∴Q₁＞Q₂，模型乙的拟合效果更好；
（2）若二次印刷8千册，则印刷厂获利为（5-1.7）×8000=26400（元），
若二次印刷10千册，由（1）可知，单册书印刷成本为$\frac{6.4}{{10}^{2}}$+1.6=1.664（元），
故二次印刷10千册时，印刷厂利润为Y=（5-1.664）×10×1000=33360（元）．

点评 本题考查了残差平方和模拟模型拟合效果的应用问题，也考查了成本与利润的应用问题，是综合题．