Question

13．已知圆C：（x-m）²+（y-n）²=9的圆心在第一象限，直线l：x+2y+2=0与圆C相交的弦长为4，则$\frac{m+2n}{mn}$的最小值为$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 根据直线和圆相交的弦长公式，求出m，n的关系，结合基本不等式进行求解即可．

解答 解：圆心C（m，n），半径R=3，
∵圆心在第一象限，
∴m＞0，n＞0．
∵直线l：x+2y+2=0与圆C相交的弦长为4，
∴圆心到直线的距离d=$\sqrt{{R}^{2}-{2}^{2}}=\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$，
即$\frac{|m+2n+2|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$，即m+2n+2=5，
则m+2n=3，即$\frac{m}{3}$+$\frac{2n}{3}$=1，
则$\frac{m+2n}{mn}$=（$\frac{1}{n}$+$\frac{2}{m}$）×（$\frac{m}{3}$+$\frac{2n}{3}$）=$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{m}{3n}$+$\frac{4n}{3m}$≥$\frac{4}{3}$+2$•\sqrt{\frac{m}{3n}•\frac{4n}{3m}}$=$\frac{4}{3}+\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，
当且仅当$\frac{m}{3n}$=$\frac{4n}{3m}$，即m=2n时取等号，
故答案为：$\frac{8}{3}$．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，根据直线与圆相交的性质，利用1的代换是解决本题的关键．