Question

4．已知函数f（α）=$\frac{{sin（α-\frac{π}{2}）cos（\frac{3π}{2}+α）tan（2π-α）}}{tan（α+π）sin（α+π）}$．
（1）化简f（α）；
（2）若f（α）•f（α+$\frac{π}{2}$）=-$\frac{1}{8}$，且$\frac{5π}{4}$≤α≤$\frac{3π}{2}$，求f（α）+f（α+$\frac{π}{2}$）的值；
（3）若f（α+$\frac{π}{2}$）=2f（α），求f（α）•f（α+$\frac{π}{2}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式即可得解；
（2）由（1）及已知可得$cosα•sinα=\frac{1}{8}$，可得${（sinα-cosα）^2}=\frac{3}{4}$，结合$\frac{5π}{4}≤α≤\frac{3π}{2}$，cosα＞sinα，即可得解．
（3）由（2）得sinα=-2cosα，利用同角三角函数基本关系式可求cos²α，利用二倍角公式即可计算得解．

解答 解：（1）f（α）=$\frac{（-cosα）sinα（-tanα）}{tanα（-sinα）}$=-cosα；
（2）$f（α+\frac{π}{2}）=-cos（α+\frac{π}{2}）=sinα$，
因为$f（α）•f（α+\frac{π}{2}）=-\frac{1}{8}$，
所以$cosα•sinα=\frac{1}{8}$，
可得${（sinα-cosα）^2}=\frac{3}{4}$，
结合$\frac{5π}{4}≤α≤\frac{3π}{2}$，cosα＞sinα，
所以$f（α）+f（α+\frac{π}{2}）=sinα-cosα=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（3）由（2）得$f（α+\frac{π}{2}）=2f（α）$，即为sinα=-2cosα，联立sin²α+cos²α=1，解得${cos^2}α=\frac{1}{5}$，
所以：$f（α）•f（α+\frac{π}{2}）=-sinαcosα=2{cos^2}α=\frac{2}{5}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．