Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，0，1），$\overrightarrow{b}$=（0，1，1），向量$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$垂直，k为实数．
（I）求实数k的值；
（II）记$\overrightarrow{c}$=k$\overrightarrow{a}$，求向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$的夹角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的坐标即可得出$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}=（1，-k，1-k）$，而由（$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}$）$⊥\overrightarrow{a}$即可得到$（\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}=0$，进而可求出k=2；
（Ⅱ）先得到$\overrightarrow{c}=（2，0，2）$，进而得出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（1，-1，0），\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=（2，-1，1）$，可设向量$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$的夹角为θ，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出$cosθ=\frac{\sqrt{3}}{2}$，从而得出θ的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}=（1，0，1），\overrightarrow{b}=（0，1，1）$；
∴$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}=（1，-k，1-k）$；
∵$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$垂直；
∴$（\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}=1+1-k=0$；
∴k=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）$\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}=（2，0，2）$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（1，-1，0），\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=（2，-1，1）$；
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}，|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{6}$，$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}）=3$；
记向量$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则：
$cosθ=\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}|}=\frac{3}{\sqrt{2}×\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∵0≤θ≤π；
∴$θ=\frac{π}{6}$．

点评 考查向量坐标的减法和数乘运算，向量垂直的充要条件，根据向量坐标求向量长度，以及向量数量积的坐标运算，向量夹角的余弦公式．