题目内容
已知函数f（x）=x2-5x+3-
，g（x）=-x+xlnx（k∈R），若对于?x1∈（1，+∞），?x2∈（0，+∞）都有f（x1）≥g（x2）成立，则k的取值范围是 ．
| k(x-1) |
| ex |
考点：利用导数研究函数的极值,函数恒成立问题
专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：对于?x1∈（1，+∞），?x2∈（0，+∞）都有f（x1）≥g（x2）成立，即为f（x1）≥g（x2）min在x＞1恒成立．可先求出g（x）的最小值-1，再由-1≤x2-5x+3-
在x＞1恒成立，即为k≤（x-4）•ex在x＞1恒成立，令h（x）=（x-4）•ex，运用导数求出极小值也为最小值，只要k不大于最小值，即可得到k的范围．
| k(x-1) |
| ex |
解答：
解：对于?x1∈（1，+∞），?x2∈（0，+∞）都有f（x1）≥g（x2）成立，
即为f（x1）≥g（x2）min在x＞1恒成立．
对于g（x）=-x+xlnx，g′（x）=-1+lnx+1=lnx，
g′（x）＞0则x＞1，g′（x）＜0则0＜x＜1，
即有x=1为极小值点，且为最小值点，g（1）=-1．
则有-1≤x2-5x+3-
在x＞1恒成立，
即
≤x2-5x+4在x＞1恒成立，即有k≤（x-4）•ex，
令h（x）=（x-4）•ex，h′（x）=（x-3）•ex，
在x＞3时，h′（x）＞0，在1＜x＜3时，h′（x）＜0，
则x=3时，h（x）取极小值也为最小值，h（3）=-e3，
则有k≤-e3．
故答案为：（-∞，-e3]．
即为f（x1）≥g（x2）min在x＞1恒成立．
对于g（x）=-x+xlnx，g′（x）=-1+lnx+1=lnx，
g′（x）＞0则x＞1，g′（x）＜0则0＜x＜1，
即有x=1为极小值点，且为最小值点，g（1）=-1．
则有-1≤x2-5x+3-
| k(x-1) |
| ex |
即
| k(x-1) |
| ex |
令h（x）=（x-4）•ex，h′（x）=（x-3）•ex，
在x＞3时，h′（x）＞0，在1＜x＜3时，h′（x）＜0，
则x=3时，h（x）取极小值也为最小值，h（3）=-e3，
则有k≤-e3．
故答案为：（-∞，-e3]．
点评：本题考查不等式的恒成立问题，考查转化思想方法，即转化为求函数的最值问题，注意运用导数求解，属于中档题和易错题．
练习册系列答案
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