Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且有S_n=

1

2

n（a_n+1），n∈N^*，又a₂=3
（Ⅰ）写出a₁，a₃，a₄并猜想{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（1）的猜想结论．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）利用递推关系S_n=

1

2

n（a_n+1），n∈N^*，及a₂=3，可求得a₁=1，a₃=5，a₄=7，于是猜想a_n=2n-1．
（Ⅱ）利用数学归纳法证明：①当n=1时，易证等式成立，②假设n=k（k≥2）时，利用归纳假设，去推证n=k+1时等式也成立即可．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=

1

2

（a₁+1），解答a₁=1，又a₂=3，
∴a₃=S₃-S₂=

1

2

×3（a₃+1）-

1

2

×2（a₂+1），
解得：a₃=5；
同理可得，a₄=S₄-S₃=7；
故猜想：a_n=2n-1．
（Ⅱ）证明：①当n=1时，a₁=1，满足a_n=2n-1；
②假设n=k（k≥2）时，a_k=2k-1，
则n=k+1时，a_k+1=S_k+1-S_k=

1

2

（k+1）（a_k+1+1）-[1+3+5+…+（2k-1）]，
∴2a_k+1=（k+1）（a_k+1+1）-2×

k(1+2k-1)

2

=（k+1）a_k+1+k+1-2k²，
∴（k-1）a_k+1=2k²-k-1=（k-1）（2k+1），
∵k≥2，
∴a_k+1=2k+1=2（k+1）-1，即n=k+1时，等式也成立；
综合①②知，a_n=2n-1．

点评：本题考查数学归纳法的应用，考查推理．运算能力，猜得a_n=2n-1是关键，属于中档题．