Question

已知点A（2，0），椭圆E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

；F是椭圆E的下焦点，直线AF的斜率为

3

2

，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于M，N两点，当△OMN的面积最大时，求l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由离心率公式和两点的斜率公式，以及a，b，c的关系，即可求出a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由题意可设直线l的方程为：x=my+2，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用三角形的面积计算公式即可得出S_△OMN．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由题意的离心率为

3

2

，即有e=

c

a

=

3

2

，
设F（0，-c），由

c

2

=

3

2

，则c=

3

，a=2，
则b=

a2-c2

=1，
则椭圆方程为

y2

4

+x²=1；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由题意可设直线l的方程为：x=my+2，
联立椭圆4x²+y²=4，
化为（1+4m²）y²+16my+12=0，当△=16（4m²-3）＞0时，即m²＞

3

4

时，
y₁+y₂=-

16m

1+4m2

，y₁y₂=

12

1+4m2

，
则△OMN的面积S=

1

2

•|OA|•|y₂|-

1

2

•|OA|•|y₁|=|y₂-y₁|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( -16m 1+4m2 )2- 48 1+4m2

=

4 4m2-3

1+4m2

，
令

4m2-3

=t（t＞0），则4m²=3+t²，
即有S=

4t

4+t2

=

4

t+ 4 t

≤

4

2 t• 4 t

=1，
当且仅当t=2即有m=±

7

2

时，S取得最大值，且为1，
此时直线l的方程为2x-

7

y-4=0或2x+

7

y-4=0．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于中档题．