Question

6．在△ABC中，三个内角A、B、C成等差数列，且cosA=$\frac{2}{3}$，则sinC=（　　）

• A． $\frac{-2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{6}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{6}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{6}$
• D． $\frac{-2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{6}$

Answer 1

分析 直接由等差数列的性质结合三角形内角和定理得B的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，进而利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值．

解答 解：∵∠A、∠B、∠C成等差数列，
∴∠A+∠C=2∠B，
又∠A+∠B+∠C=π，
∴3∠B=π，则∠B=$\frac{π}{3}$．
∵cosA=$\frac{2}{3}$，可得：sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{5}}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{6}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了等差数列的性质，考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，是基础题．