Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）若AP=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，证明：AF⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）证明CD∥EF，AB∥CD，即可证明AB∥EF，利用线面平行的判定即可得解；
（2）利用平面PAD⊥平面ABCD，证明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可证明AF⊥平面PCD；

解答 （本题满分为12分）
解：（1）证明：因为点E、F分别是棱PC和PD的中点，
所以CD∥EF．
因为底面ABCD是矩形，
所以AB∥CD．可得：AB∥EF，
又因为EF?平面PAB，AB?平面PAB，
所以EF∥平面PAB．…（6分）
（2）证明：在矩形ABCD中，CD⊥AD．
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以CD⊥平面PAD．
又AF?平面PAD，
所以CD⊥AF．
由点F是棱PD中点．
在△PAD中，因为PA=AD，所以AF⊥PD．
又因为PD∩CD=D，所以AF⊥平面PCD．…（12分）

点评 本题考查线面平行的性质，平面与平面垂直的性质，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．