Question

18．现在人们都注重锻炼身体，骑车或步行上下班的人越来越多，某公司甲、乙两人每天可采用步行，骑车，开车三种方式上下班．步行到公司所用时间为1小时，骑车到公司所用时间为0.5小时，开车到公司所用时间为0.1小时．甲、乙两人上下班方式互不影响．设甲、乙步行的概率分别为$\frac{1}{4}，\frac{1}{2}$；骑车概率分别为$\frac{1}{2}，\frac{1}{4}$．
（1）求甲、乙两人到公司所用时间相同的概率；
（2）设甲、乙两人到公司所用时间和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）由题意，得甲、乙开车的概率分别为$\frac{1}{4}，\frac{1}{4}$，记甲、乙两人到公司所用时间相同为事件A，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．
（2）可能取的值由0.2，0.6，1.0，1.1，1.5，2．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式及其数学期望计算公式即可得出．

解答 解：（1）由题意，得甲、乙开车的概率分别为$\frac{1}{4}，\frac{1}{4}$，
记甲、乙两人到公司所用时间相同为事件A，
则$P（A）=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{5}{16}$．
∴甲、乙两人到公司所用时间相同的概率为$\frac{5}{16}$．
（2）可能取的值由0.2，0.6，1.0，1.1，1.5，2.$P（X=0.2）=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$；$P（X=0.6）=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{3}{16}$；$P（X=1.0）=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$；$P（X=1.1）=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{3}{16}$；$P（X=1.5）=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{5}{16}$；$P（X=2）=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$．
∴甲、乙两人到公司所用时间之和X的分布列为

X	0.2	0.6	1.0	1.1	1.5	2
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{1}{8}$

∴$E（X）=0.2×\frac{1}{16}+0.6×\frac{3}{16}+1.0×\frac{1}{8}+1.1×\frac{3}{16}+1.5×\frac{5}{16}+2×\frac{1}{8}=\frac{47}{40}$（小时）．

点评 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．