Question

20．如图所示的“相邻塔”形立体建筑，已知P-OAC和Q-OBD是边长分别为a和$\frac{m}{a}（{m是常数}）$的两个正四面体，底面中AB与CD交于点O，试求出塔尖P，Q之间的距离关于边长a的函数，并求出a为多少时，塔尖P，Q之间的距离最短．

Answer 1

分析 过点P作底面OAC的垂线交底面OAC于点O₁，过点Q作底面OBD的垂线交底面OBD于点O₂，连结O₁O₂，则四边形PO₁O₂Q是直角梯形，由此能求出当a=$\sqrt{m}$时，塔尖P，Q之间的距离最短．

解答 解：如图，过点P作底面OAC的垂线交底面OAC于点O₁，
过点Q作底面OBD的垂线交底面OBD于点O₂，
连结O₁O₂，则O₁，O₂，O三点共线，且PO₁∥QO₂，
则四边形PO₁O₂Q是直角梯形，
在Rt△OPO₁中，OP=a，OO₁=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，则PO₁=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$，
同理，得OO₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}\frac{m}{a}$，QO₂=$\frac{\sqrt{6}}{3}\frac{m}{a}$，
则PQ=$\sqrt{（{O}_{1}{{O}_{2}}^{2}+（Q{O}_{2}-P{O}_{1}）^{2}}$
=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{3}a+\frac{\sqrt{3}}{3}\frac{m}{a}）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{3}\frac{m}{a}-\frac{\sqrt{6}}{3}a）^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{2}{3}m}$，
PQ=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{2}{3}m}$≥$\sqrt{2\sqrt{{a}^{2}•\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}}-\frac{2}{3}m}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$\sqrt{m}$（${a}^{2}=\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$，当a=$\sqrt{m}$时，等号成立），
则当a=$\sqrt{m}$时，塔尖P，Q之间的距离最短．

点评 本题考查两点间距离最小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．