Question

12．设在（0，π）内有两个不相等角α，β，满足方程acosx+bsinx+c=0．试证：
（1）$\frac{a}{cos\frac{α+β}{2}}$=$\frac{b}{sin\frac{α+β}{2}}$=$\frac{c}{cos\frac{α-β}{2}}$；
（2）cos²$\frac{α-β}{2}$=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根据题意，acosα+bsinα+c=0①，acosβ+bsinβ+c=0②；
①-②消去c，利用和差化积证出$\frac{a}{cos\frac{α+β}{2}}$=$\frac{b}{sin\frac{α+β}{2}}$；
①×cosβ-②cosα消去a，利用两角差的正弦公式与和差化积证出$\frac{b}{sin\frac{α+β}{2}}$=$\frac{c}{cos\frac{α-β}{2}}$即可；
（2）由（1）平方，再利用合比公式即可求出cos²$\frac{α-β}{2}$的值．

解答 证明：（1）方程acosx+bsinx+c=0在（0，π）内有两个相异的实根α、β，
∴acosα+bsinα+c=0，①
acosβ+bsinβ+c=0，②
∴方程①-②消去c得，
a（cosα-cosβ）+b（sinα-sinβ）=0，
即a（-2sin$\frac{α+β}{2}$sin$\frac{α-β}{2}$）+b（2cos$\frac{α+β}{2}$sin$\frac{α-β}{2}$）=0，
∴2sin$\frac{α-β}{2}$（bcos$\frac{α+β}{2}$-asin$\frac{α+β}{2}$）=0，
∵α≠β，∴sin$\frac{α-β}{2}$≠0，
∴bcos$\frac{α+β}{2}$-asin$\frac{α+β}{2}$=0，
∴$\frac{a}{cos\frac{α+β}{2}}$=$\frac{b}{sin\frac{α+β}{2}}$；
①×cosβ-②cosα消去a得：
bsinαcosβ-bsinβcosα+c（cosβ-cosα）=0，
∴bsin（α-β）=2csin$\frac{α+β}{2}$sin$\frac{α-β}{2}$，
即2bsin$\frac{α-β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$=2c•sin$\frac{α+β}{2}$sin$\frac{α-β}{2}$，
∴$\frac{b}{sin\frac{α+β}{2}}$=$\frac{c}{cos\frac{α-β}{2}}$；
即$\frac{a}{cos\frac{α+β}{2}}$=$\frac{b}{sin\frac{α+β}{2}}$=$\frac{c}{cos\frac{α-β}{2}}$；
（2）由（1）知，
$\frac{{c}^{2}}{{cos}^{2}\frac{α-β}{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{{cos}^{2}\frac{α+β}{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{sin}^{2}\frac{α+β}{2}}$
=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{{cos}^{2}\frac{α+β}{2}{+sin}^{2}\frac{α+β}{2}}$
=a²+b²，
∴cos²$\frac{α-β}{2}$=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}}$．

点评 本题考查了三角恒等变换的应用问题，也考查了三角恒等式的证明问题，是较难的题目．