Question

11．若函数f（x）在其定义域上既是减函数又是奇函数，则函数f（x）的解析式可以是（　　）

• A． $f（x）={log_2}（\sqrt{{x^2}+1}-x）$
• B． $f（x）=\frac{1}{x}$
• C． f（x）=x²-x³
• D． f（x）=sinx

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性定义、对数函数的单调性、复合函数的单调性判断A；根据基本初等函数奇偶性和单调性的性质分别判断B、C、D即可．

解答 解：A．$f（x）=lo{g}_{2}（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）$的定义域是R，
且$f（-x）=lo{g}_{2}（\sqrt{{x}^{2}+1}+x）$=$lo{g}_{2}（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）^{-1}$=-f（x），
所以f（x）是奇函数，
因为y=$\sqrt{{x}^{2}+1}-x$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$在定义域上是减函数，
所以函数$f（x）=lo{g}_{2}（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）$在定义域上是减函数，满足条件；
B．$f（x）=\frac{1}{x}$是定义域{x|x≠0}上的奇函数，在（-∞，0），（0，+∞）上是减函数，
但是在定义域上不是减函数，不满足条件；
C．因为f（-x）=（-x）²-（-x）³=x²+x³，所以f（x）是非奇非偶函数，不满足条件；
D．f（x）=sinx是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件．
故选：A．

点评 本题考查函数奇偶性和单调性的判断，以及对数函数的单调性、复合函数的单调性，熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性是解题的关键．