Question

在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC上一点，且PE=

1

2

EC，F为AB上一点，且AF=2FB，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若Q为侧棱PC中点，求二面角Q-BD-C的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）在PD上取一点G，使PG=

1

2

GD，四边形AFEG为平行四边形由此能证明EF∥平面PAD．
（Ⅱ）取CD中点H，连BH，QH．取BD中点O，连HO，QO．∠QOH为二面角Q-BD-C的平面角，由此能求出二面角Q-BD-C的正切值．

解答： （本小题10分）
（Ⅰ）证明：在PD上取一点G，使PG=

1

2

GD，
∵PE=

1

2

EC，∴EG∥CD，
∴EG=

1

3

CD=

2

3

，AF=

2

3

AB=

2

3

，
∴AF∥CD，AF∥EF，AF=EF，
∴四边形AFEG为平行四边形，∴AG∥EF，
∵EF?平面PAD，AG?平面PAD，∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ）解：取CD中点H，
连BH，QH．取BD中点O，连HO，QO．
∵AB=AD=PD=1，CD=2，
∴DH=BH，DQ=BQ，
∴OQ⊥BD，HO⊥BD，
∴∠QOH为二面角Q-BD-C的平面角．
在Rt△QOH中，QH=

1

2

，HO=

2

2

，
∴tan∠QOH=

QH

OH

=

2

2

故二面角Q-BD-C的正切值为

2

2

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．