Question

15．小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A，如果A猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A、B平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A、B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A、B、C猜中的概率分别为$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，且A、B、C是否猜中互不影响．
（1）求A恰好获得4元的概率；
（2）设A获得的金额为X元，求X的分布列；
（3）设B获得的金额为Y元，C获得的金额为Z元，判断A所获得的金额的期望能否超过Y的期望与Z的期望之和．

Answer 1

分析 （1）由相互独立事件概率乘法公式能求出A恰好获得4元的概率．
（2）X的可能取值为0，4，6，12，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（3）Y的可能取值为0，4，6；Z的可能取值为0，4．分别求出相应的概率，由此能求出A所获得的金额的期望能超过Y的期望与Z的期望之和．

解答 解：（1）A恰好获得4元的概率为$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$…（2分）
（2）X的可能取值为0，4，6，12，
$P（{X=4}）=\frac{1}{9}，P（{X=0}）=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$，
$P（{X=6}）=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}，P（{X=12}）=\frac{1}{3}$，…（5分）
所以X的分布列为：

X	0	4	6	12
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

…（6分）
（3）Y的可能取值为0，4，6；Z的可能取值为0，4．
因为$P（{Y=0}）=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{5}{9}，P（{Y=4}）=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}，P（{Y=6}）=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，…（8分）
$P（{Z=0}）=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{8}{9}，P（{Z=4}）=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$，…（9分）
所以$EY=0×\frac{5}{9}+4×\frac{1}{9}+6×\frac{1}{3}=\frac{22}{9}，EZ=0×\frac{8}{9}+4×\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$，
所以$EY+EZ=\frac{26}{9}$，
又$EX=0×\frac{2}{9}+4×\frac{1}{9}+6×\frac{1}{3}+12×\frac{1}{3}=\frac{58}{9}$，…（11分）
由于EX＞EY+EZ，所以A所获得的金额的期望能超过Y的期望与Z的期望之和．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．