Question

20．函数f（x）=$\frac{1}{{{2^x}-1}}$+a关于（0，0）对称．
（1）求a得值；
（2）解不等式f（x）＜$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的性质即可求出a的值，
（2）根据指数函数，f（x）＜$\frac{2}{3}$，化为$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1＞0}\\{5-{2}^{x}＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1＜0}\\{5-{2}^{x}＞0}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{{{2^x}-1}}$+a关于（0，0）对称，
∴f（1）=-f（-1），
∴$\frac{1}{2-1}$+a=-$\frac{1}{\frac{1}{2}-1}$-a，
解得a=$\frac{1}{2}$，
（2）由（1）可知，f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$，
∵f（x）＜$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$＜$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{{2}^{x}-1}$＜$\frac{1}{6}$，
∴$\frac{5-{2}^{x}}{6（{2}^{x}-1）}$＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1＞0}\\{5-{2}^{x}＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1＜0}\\{5-{2}^{x}＞0}\end{array}\right.$，
解得x＞log₂5，或x＜0，
故不等式的解集为（-∞，0）∪（log₂5，+∞）

点评 本题考查了函数的奇偶性和不等式的解法，属于中档题．