题目内容

8．坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}$（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴半轴为极轴）中直线l的方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）求曲线C在极坐标系中的方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．

分析 （1）把曲线C的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为普通方程，再根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，化为极坐标方程．
（2）把直线和圆的直角坐标方程联立方程组，求得交点的坐标，再利用两点间的距离公式求得弦长．

解答 解：（1）曲线C的普通方程为（x-2）2+y2=4，
即x2+y2-4x=0，将$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入方程x2+y2-4x=0化简得ρ=4cosθ．
所以，曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．
（2）∵直线l的直角坐标方程为x+y-4=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-4x=0\\ x+y-4=0\end{array}\right.$得直线l与曲线C的交点坐标为A（2，2），B（4，0），
所以弦长|AB|=$\sqrt{（4-2）^{2}+（0-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求直线和圆的交点坐标，两点间的距离公式的应用，属于基础题．

练习册系列答案
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