Question

5．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=\sqrt{3}+\sqrt{3}t\end{array}$（t为参数）．在以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ-2$\sqrt{3}$ρsinθ+4=0．
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|OA|•|OB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=\sqrt{3}+\sqrt{3}t\end{array}$（t为参数）．消去参数t可得直线l的普通方程．曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ-2$\sqrt{3}$ρsinθ+4=0，利用互化公式可得：曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）直线l的极坐标方程是$θ=\frac{π}{3}$，代入曲线C的极坐标方程得：ρ²-5ρ+4=0，可得|OA|•|OB|=|ρ_Aρ_B|．

解答 解：（Ⅰ）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=\sqrt{3}+\sqrt{3}t\end{array}$（t为参数）．
消去参数t可得直线l的普通方程是$y-\sqrt{3}=\sqrt{3}（x-1）$，即$y=\sqrt{3}x$．
曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ-2$\sqrt{3}$ρsinθ+4=0，
利用互化公式可得：曲线C的直角坐标方程是${x^2}+{y^2}-4x-2\sqrt{3}y+4=0$，即${（x-2）^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=3$．
（Ⅱ）直线l的极坐标方程是$θ=\frac{π}{3}$，代入曲线C的极坐标方程得：ρ²-5ρ+4=0，
所以|OA|•|OB|=|ρ_Aρ_B|=4．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．