Question

已知函数f（x）=-

mx2

lnx

，g(x)=m-

mx2

emx

，其中m∈R且m≠0．e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）当m＜0时，求函数f（x）的单调区间和极小值；
（Ⅱ）当m＞0时，若函数g（x）存在a，b，c三个零点，且a＜b＜c，试证明：-1＜a＜0＜b＜e＜c；
（Ⅲ）是否存在负数m，对?x₁∈（1，+∞），?x₂∈（-∞，0），都有f（x₁）＞g（x₂）成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间和最小值，
（Ⅱ）根据零点存在定理，求出m的范围，以及根据函数g（x）的单调性名即可判断；
（Ⅲ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在负数m，只需f（x）_min＞g（x）_max，根据函数的单调性分别求出最值，得到关于m的不等式，解得即可

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=-m

2xlnx-x

(lnx)2

=

mx(1-2lnx)

(lnx)2

（x＞0且x≠）．
∴由f′（x）＞0，得x＞

e

；由f′（x）＜0，得0＜x＜

e

，且x≠1．
∴函数f（x）的单调递减区间是（0，1），（1，

e

），单调递增区间是（

e

，+∞），
∴f（x）_极小值=f（

e

）=-2me．
（Ⅱ）g′（x）=

mx(mx-2)

emx

，（m＞0）
∴g（x）在（-∞，0）单调递增，（0，

2

m

）上单调递减，（

2

m

，+∞）上单调递增．
∵函数g（x）存在三个零点．
∴

g(0)＞0 g( 2 m )＜0

解得0＜m＜

2

e

．
∴0＜me＜2，
由g（-1）=m-me^m=m（1-e^m）＜0，
∴g（e）=m-

me2

eem

=m（1-

e2

eem

）＜0，
综上可知，g（e）＜0，g（0）＞0，g（-1）＜0，
结合函数g（x）单调性及a＜b＜c可得：a∈（-1，0），b∈（0，e），c∈（e，+∞）．
即：-1＜a＜0＜b＜e＜c得证．
（ III）由题意，只需f（x）_min＞g（x）_max，
∵f′（x）=

mx(1-2lnx)

(lnx)2

由m＜0，∴函数f（x）的单调递减区间是（1，

e

），单调递增区间是（

e

，+∞），
∴f（x）_min＞f（

e

）=-2me．
∵（Ⅱ）g′（x）=

mx(mx-2)

emx

，
由m＜0，g（x）在（-∞，

2

m

）单调递增，（0，

2

m

）上单调递减，
∴g（x）_max=g（

2

m

）=m-

4

e2m

∴-2me＞m-

4

e2m

两边同乘以负数m得-2m²e＜m²-

4

e2

即m＜-

2 2e+1

e(2e+1)

所述，存在这样的负数m∈（-∞，-

2 2e+1

e(2e+1)

）满足题意．

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间最值的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于难题．