Question

设函数f（x）=lnx+

1

2

x-a（a∈R），若存在b∈[1，e]，（e为自然对数的底数），使得f（f（b））=b，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[-

  1

  2

  ，1-

  e

  2

  ]
• B、[1-

  e

  2

  ，ln2-1]
• C、[-

  1

  2

  ，ln2-1]
• D、[-

  1

  2

  ，0]

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：利用反函数将问题进行转化，再将解方程问题转化为函数的图象交点问题．

解答： 解解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f^-1（b），
其中f^-1（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立”，转化为
“存在b∈[1，e]，使f（b）=f^-1（b）”，
即y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈[1，e]，
∵y=f（x）的图象与y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[1，e]，
令：lnx+

1

2

x-a=x，则方程在[1，e]上一定有解
∴a=lnx-

1

2

x，
设g（x）=lnx-

1

2

x
则g′（x）=

1

x

-

1

2

=

2-x

2x

，
当g′（x）=0．解得x=2，
∴函数g（x）=在[1，2]为增函数，在[2，e]上为减函数，
∴g（x）≤g（2）=ln2-1，
g（1）=-

1

2

，g（e）=1-

1

2

e，
故实数a的取值范围是[-

1

2

，ln2-1]
故选：C

点评：本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题