Question

已知命题p：直线y=x+t与抛物线y²=4x有两个交点；命题q：关于x的方程x²-tx+4=0有实根．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,复合命题的真假

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：由于直线y=x+t与抛物线y²=4x有两个交点

y=x+t y2=4x

有两个解，解出参数的范围，化简p条件，再由关于x的方程x²-tx+4=0有实根得出△=t²-16≥0，解出q条件，然后再由复合命题的真假得出实数t的取值范围即可

解答： 解：命题p：直线y=x+t与抛物线y²=4x有两个交点，则

y=x+t y2=4x

有两个解，即y²=4（y-t）有两个根，故有△=16-16t＞0，解得t＜1，
命题q：关于x的方程x²-tx+4=0有实根，则△=t²-16≥0，解得t≥4或t≤-4
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p与q一真一假
若p真q假，则

t＜1 -4＜t＜4

，解得-4＜t＜1
若p假q真，则

t≥1 t≥4或t≤-4

，解得t≥4
综上，实数t的取值范围为-4＜t＜1或t≥4

点评：本题考查了直线与抛物线相交的位置关系的转化，复合命题的真假判断，知识性强，综合性强，解答时要认真审题，正确转化方能顺利解答