Question

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和S_n，且3S_n=a_na_n+1，则

n

i=1

a2k=（　　）

• A、

  n(n+5)

  2

• B、

  3n(n+1)

  2

• C、

  n(5n+1)

  2

• D、

  (n+3)(n+5)

  2

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：3S_n=a_na_n+1⇒3S_n+1=a_n+1a_n+2，两式相减，易得数列{a_2n}是以3为首项，3为公差的等差数列，从而可求得a_2n的解析式，继而可求则

n

i=1

a2k的值．

解答： 解：∵3S_n=a_na_n+1，
∴3S_n+1=a_n+1a_n+2，
两式相减得：3a_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），
∵a_n+1＞0，
∴a_n+2-a_n=3，又3a₁=a₁•a₂，
∴a₂=3，
∴数列{a_2n}是以3为首项，3为公差的等差数列，
∴a_2n=3+（n-1）×3=3n．
∴

n

i=1

a2k=a₂+a₄+…+a_2n=

(3+3n)n

2

=

3n(n+1)

2

．
故选：B．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定及求和公式的应用，属于中档题．