题目内容
已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角表，俯视图为直角梯形．（Ⅰ）求证：BN⊥平面C1B1N；
（Ⅱ）求直线C1N与平面CNB1所成角的正弦值．
考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）由三视图和垂直关系以B为原点，以BA，BB1，BC分别为xyz轴建立坐标系，可得点的坐标，可得∴
和
以及
的坐标，由数量积为0可判垂直，由线面垂直的判定定理可得；（2）由数量积为0可得平面CNB1的法向量
=（1，1，2），设C1N与平面CNB1所成的角为θ，则sinθ=
，代值计算可得．
| BN |
| B1N |
| C1N |
| n |
|
| ||||
|
|
解答：
（1）由三视图可知BC⊥面ABB1N，
以B为原点，以BA，BB1，BC分别为xyz轴建立坐标系，
可得B（0，0，0），A（4，0，0），N（4，4，0）B1（0，8，0），C（0，0，4），C1（0，8，4），
∴
=（4，4，0），
=（4，-4，0），
=（4，-4，-4）
∴
•
=0，
•
=0，又∵B1N∩C1N=N，
∴BN⊥平面C1B1N
（2）设平面CNB1的法向量
=（x，y，z），
则
•
=4x+4y-4z=0，且
•
=8y-4z=0，
取y=1，可得z=2，x=1，∴
=（1，1，2），
设C1N与平面CNB1所成的角为θ，则sinθ=
=
，
∴直线C1N与平面CNB1所成角的正弦值为
以B为原点，以BA，BB1，BC分别为xyz轴建立坐标系，
可得B（0，0，0），A（4，0，0），N（4，4，0）B1（0，8，0），C（0，0，4），C1（0，8，4），
∴
| BN |
| B1N |
| C1N |
∴
| BN |
| B1N |
| BN |
| C1N |
∴BN⊥平面C1B1N
（2）设平面CNB1的法向量
| n |
则
| n |
| CN |
| n |
| CB1 |
取y=1，可得z=2，x=1，∴
| n |
设C1N与平面CNB1所成的角为θ，则sinθ=
|
| ||||
|
|
| ||
| 3 |
∴直线C1N与平面CNB1所成角的正弦值为
| ||
| 3 |
点评：本题考查线面角和线面垂直的判定，涉及三视图，建系是解决问题的关键，属中档题．
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