Question

设函数g（x）=

1

3

x³+ax²的图象在x=1处的切线平行于直线2x-y=0．记g（x）的导函数为f（x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且?n∈N⁺，S_n=

1

2

f（a_n），求a_n；
（3）对于数列{b_n}满足：b₁=

1

2

，b_n+1=f（b_n），当n≥2，n∈N⁺时，求证：1＜

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

＜2．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,数列与不等式的综合

专题：导数的综合应用,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数，由在x=1处的切线平行于直线2x-y=0列式求得a的值，则函数解析式可求；
（2）由S_n=

1

2

f（a_n）得到数列递推式，求出首项，取n=n-1得另一递推式，作差后可判断数列{a_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，则其通项公式可求；
（3）由b_n+1=f（b_n）得b_n+1=b_n（b_n+1），取倒数后变形，然后利用裂项相消法求

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

，放缩证得不等式右边，直接缩小证明不等式左边．

解答： （1）解：函数g（x）=

1

3

x³+ax²的导函数为f（x）=x²+2ax，
由于在x=1处的切线平行于2x-y=0，
∴1+2a=2，解得：a=

1

2

，
即f（x）=x²+x；
（2）解：S_n=

1

2

f（a_n）=

1

2

(an2+an)，
当n=1时，a1=S1=

1

2

(a12+a1)，解得：a₁=1或a₁=0（舍去），
当n≥2时，Sn-1=

1

2

(an-12+an-1)，
Sn-Sn-1=

1

2

[(an2-an-12)+(an-an-1)]，
即有（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1．
∴数列{a_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
则a_n=1+（n-1）=n；
（3）证明：∵b_n+1=b_n（b_n+1），
∴

1

bn+1

=

1

bn(bn+1)

=

1

bn

-

1

bn+1

，
即有

1

bn+1

=

1

bn

-

1

bn+1

．
∴T_n=

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

=

1

b1

-

1

b2

+

1

b2

-

1

b3

+…+

1

bn

-

1

bn+1

=2-

1

bn+1

＜2．
而当n≥2时，T_n=

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

≥

1

1+b1

+

1

1+b2

=

2

3

+

4

7

=

26

21

＞1．
∴1＜

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

＜2．

点评：本题考查了利用导数研究过去线上某点处的切线方程，考查了等差关系的求得，训练了裂项相消法求数列的前n项和，训练了利用放缩法证明数列不等式，属难题．