题目内容
等级产品一等二等甲5（万元）2.5（万元）乙2.5（万元）1.5（万元）利润项目产品工人（名）资金（万元）甲88乙210用量工序产品第一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8概率某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品．
（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；
（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；
（3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示．该工厂有工人40名，可用资．金60万元．设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时，Z=xEξ+yEη最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）
（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；
（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；
（3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示．该工厂有工人40名，可用资．金60万元．设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时，Z=xEξ+yEη最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）
考点：离散型随机变量及其分布列
专题：概率与统计
分析：（1）由题意利用相互独立事件的概率乘法公式能求出甲、乙产品为一等品的概率．
（2）先求出随机变量ξ和η的分布列，由此能求出ξ、η的分布列及Eξ、Eη．
（3）由题设知
，目标函数为z=xEξ+yEη=4.2x+2.1y，作出可行域，由此能求出x=4，y=4时或x=5，y=0时，z取最大值，z的最大值为21．
（2）先求出随机变量ξ和η的分布列，由此能求出ξ、η的分布列及Eξ、Eη．
（3）由题设知
|
解答：
解：（1）由题意得：P甲=0.8×0.85=0.68，
P乙=0.75×0.8=0.6…（2分）
（2）随机变量ξ的分布列是：
随机变量η的分布列是：
Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2，
Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1．
（3）由题设知
，
目标函数为z=xEξ+yEη=4.2x+2.1y，
作出可行域（如图）：
作直线l：4.2x+2.1y=0，
将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点M点与原点距离最大，
此时z=4.2x+2.1y取最大值
解方程组
，
得x=
，y=
，
∵x，y为整数，∴x=4，y=2
即x=4，y=2时，z取值为21．
当x=5，y=0时，z=4.2×5+2.1×0=21，
∴x=4，y=2或x=5，y=0时，z取最大值21．
P乙=0.75×0.8=0.6…（2分）
（2）随机变量ξ的分布列是：
| ξ | 5 | 2.5 |
| P | 0.68 | 0.32 |
| η | 2.5 | 1.5 |
| P | 0.6 | 0.4 |
Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1．
（3）由题设知
|
目标函数为z=xEξ+yEη=4.2x+2.1y，
作出可行域（如图）：
作直线l：4.2x+2.1y=0，
将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点M点与原点距离最大，
此时z=4.2x+2.1y取最大值
解方程组
|
得x=
| 35 |
| 8 |
| 5 |
| 2 |
∵x，y为整数，∴x=4，y=2
即x=4，y=2时，z取值为21．
当x=5，y=0时，z=4.2×5+2.1×0=21，
∴x=4，y=2或x=5，y=0时，z取最大值21．
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意线性规划知识的合理运用．
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