Question

已知弹道曲线的参数方程为

x=v0tcosα y=v0tsinα- 1 2 gt2

，g是重力加速度．
（1）求发射角α=

π

3

时，弹道曲线的普通方程和射程；
（2）设v₀是定值，α是变量，求证：α=

π

4

时射程最大．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,函数的最值及其几何意义

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）发射角α=

π

3

时，可得x=v0tcos

π

3

=

1

2

v0t，y=v0tsin

π

3

-

1

2

gt2=

3

2

v0t-

1

2

gt2，消去t可得y=

3

x-

2gx2

v 2 0

．令y=0，可得x．
（2）由弹道曲线的参数方程

x=v0tcosα y=v0tsinα- 1 2 gt2

，g是重力加速度．消去t可得y=xtanα-

gx2

2 v 2 0 cos2α

，令y=0，可得x=

v 2 0

g

sin2α，即可证明．

解答： （1）解：发射角α=

π

3

时，x=v0tcos

π

3

=

1

2

v0t，y=v0tsin

π

3

-

1

2

gt2=

3

2

v0t-

1

2

gt2，
消去t可得y=

3

x-

2gx2

v 2 0

．
令y=0，可得x=

3 v 2 0

2g

．
（2）证明：由弹道曲线的参数方程

x=v0tcosα y=v0tsinα- 1 2 gt2

，g是重力加速度．消去t可得y=xtanα-

gx2

2 v 2 0 cos2α

，
令y=0，可得x=

v 2 0

g

sin2α≤

v 2 0

g

，当且仅当α=

π

4

时射程最大．

点评：本题考查了弹道曲线的参数方程化为普通方程、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．