Question

1．已知圆C₁：（x-1）²+y²=$\frac{1}{2}$与圆C₂的公切线是直线y=x和y=-x，且两圆的圆心距是3，求圆C₂的方程．

Answer 1

分析 由题意，圆C₂的圆心C₂在x轴或y轴上，分类讨论，求出圆心与半径，即可得出结论．

解答 解：由题意，圆C₂的圆心C₂在x轴或y轴上，
①设C₂（a，0），则|a-1|=3，a=4或-2，
（4，0）到直线y=x的距离是$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，（-2，0）到直线y=x的距离是$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴圆C₂的方程是：（x-4）²+y²=8或：（x+2）²+y²=2；
②设C₂（0，b），则$\sqrt{1+{b}^{2}}$=3，∴b=$±2\sqrt{2}$，
（0，$±2\sqrt{2}$）到直线y=x的距离是$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2，
∴圆C₂的方程是：x²+（y-2$\sqrt{2}$）²=4或x²+（y+2$\sqrt{2}$）²=4．

点评 本题考查圆的方程，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．