Question

在某社区举办的《119消防知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关消防知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是

3

4

，甲、丙两人都回答错的概率是

1

12

，乙、丙两人都回答对的概率是

1

4

．
（Ⅰ）求乙、丙两人各自回答对这道题的概率．
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中只有乙回答对该题的概率．
（Ⅲ）记甲、乙、丙三人中答对该题的人数为随机变量ξ，求随机变量ξ的期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A、B、C，则P（A）=

3

4

，且有

P( . A )•P( . C )= 1 12 P(B)P(C)= 1 4

，由此能求出乙、丙两人各自回答对这道题的概率．
（2）由（1）知P（

.

A

）=1-P（A）=

1

4

，P(

.

C

)=1-P(C)=

1

3

，由此能求出甲、乙、丙三人中只有乙回答对该题的概率．
（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的期望．

解答： （本题满分14分）
解：（1）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A、B、C，（1分）
则P（A）=

3

4

，且有

P( . A )•P( . C )= 1 12 P(B)P(C)= 1 4

，（3分）
即

[1-P(A)][1-P(C)]= 1 12 P(B)P(C)= 1 4

，
解得P（B）=

3

8

，P（C）=

2

3

．（5分）
（2）由（1）知P（

.

A

）=1-P（A）=

1

4

，P(

.

C

)=1-P(C)=

1

3

记甲、乙、丙三人中只有乙回答对该题为事件M，所以P(M)=

1

4

×

3

8

×

1

3

=

1

32

．（7分）
（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，（8分）
P(ξ=0)=

1

4

×

5

8

×

1

3

=

5

96

，
P(ξ=1)=

3

4

×

5

8

×

1

3

+

1

4

×

3

8

×

1

3

+

1

4

×

5

8

×

2

3

=

28

96

，
P(ξ=2)=

3

4

×

3

8

×

1

3

+

3

4

×

5

8

×

2

3

+

1

4

×

3

8

×

2

3

=

45

96

，
P(ξ=3)=

3

4

×

3

8

×

2

3

=

18

96

（12分）
∴E(ξ)=0×

5

96

+1×

28

96

+2×

45

96

+3×

18

96

=

172

96

=

43

24

．（14分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．