Question

14．已知函数f（x）=x-lnx+2k，在区间[$\frac{1}{e}$，e]上任取三个数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则k的取值范围是（　　）

• A． （-1，+∞）
• B． （-∞，1）
• C． （-∞，e-3）
• D． （$\frac{e-3}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由${f}^{'}（x）=1-\frac{1}{x}$，=0，得x=1，由导数性质得f（x）_min=f（1）=1+2k，f（x）_max=f（e）=e-1+2k，由题意得f（1）=1+2k＞0，且f（1）+f（1）＞f（e），由此能求出k的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=x-lnx+2k，
∴x＞0，${f}^{'}（x）=1-\frac{1}{x}$，
由f′（x）=0，得x=1，
∵x∈[$\frac{1}{e}$，e]，∴x∈[$\frac{1}{e}$，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，e]时，f′（x）＞0，
∴f（x）_min=f（1）=1+2k，f（x）_max=f（e）=e-1+2k，f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$+1+2k，
∵在区间[$\frac{1}{e}$，e]上任取三个数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，
∴f（1）=1+2k＞0，①
f（1）+f（1）＞f（e），即2+4k＞e-1+2k，②
联立①②，得k＞$\frac{e-3}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查实数的求值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．