Question

4．对于0≤m≤4中的任意m，不等式x²+mx＞4x+m-3恒成立，则x的取值范围是（　　）

• A． -1≤x≤3
• B． x≤-1
• C． x≥3
• D． x＜-1或x＞3

Answer 1

分析 解法1、由题意，可以采用分离参数法．x²-4x+3＞m（1-x），对1-x＞0，1-x=0，1-x＜0讨论，0≤m≤4求解不等即可得到答案．
解法2、构造函数法，构造关于m的函数，由x²+mx＞4x+m-3，转化为x²+mx-4x-m+3＞0，令函数g（m）=x²+mx-4x-m+3，即g（m）＞0，对于0≤m≤4中的任意m，从而求解不等式．

解答 解：解法1：
由题意，x²+mx＞4x+m-3恒成立，等价于x²-4x+3＞m（1-x）?（x-3）（x-1）＞-m（x-1）．
当x-1＞0时，即x＞1，x-3＞-m，则m＞3-x．
∵0≤m≤4，∴3-x＜0，解得：x＞3．
当x-1=0时，即x=1时，不等式不成立．
当x-1＜0时，即x＜1，x-3＜-m，则m＜3-x．
∵0≤m≤4，∴3-x＞4，解得：x＜-1．
综上所述：x的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）
故选：D．
解法2：构造函数法
由x²+mx＞4x+m-3，⇒x²+mx-4x-m+3＞0，令函数g（m）=（x-1）m+x²-4x+3，
∵x²+mx-4x-m+3＞0，即g（m）＞0，对于0≤m≤4中的任意m恒成立，
则有g（0）＞0且g（4）＞0，即，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3＞0}\\{4（x-1）+{x}^{2}-4x+3＞0}\end{array}\right.$，解得：x＞3或x＜-1．
所以x的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）
故选：D．

点评 本题主要考查了不等式恒成立问题，分离参数法是解决恒等式的问题的方法之一，好灵活运用，同时本题要注意1-x与0大小讨论．构造函数法也是解决恒等式常用的方法，有某些题，非常有优势，必须掌握．属于难题．